[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zatem
îø ùø îø ùø îø ùø
1 1 1 et 0 0 3 6 -3
ïø úø ïø úø ïø úø
1
ïø úø ïø úø ïø úø
etA = PetJP-1 = 1 -3 0 0 e-t 0 1 0 -1 =
ðø ûø ðø ûø ðø ûø
6
1 -5 1 0 0 e2t 2 -6 4
îø ùø
3et + e-t + 2e2t 6et - 6e-2t -et - e-t + 4e2t
ïø úø
1
ïø
= 3et - 3e-t 6et -3et + 3e-t úø .
ðø ûø
6
3et - 5e-t + 2e2t 6et - 6e-2t -3et + 5e-t + 4e2t
Przykład 3.12 Rozwiązać zagadnienie początkowe
ñø
ôø
x = x + y
ôø
òø
y = -x + y + 2
ôø
ôø
óø
x(0) = 1, y(0) = 0.
R o z w i ą z a n i e : Jest to układ niejednorodny. Przyjmujemy
x(t) 1 1 0
x(t) = , A = , b(t) = .
y(t) -1 1 2
Rozwiązanie powyższego zagadnienia otrzymamy z wzoru (43). Wyznaczymy najpierw
macierz etA. Równanie charakterystyczne i wartości własne macierzy A:
1 - » 1
det(A - »I) = 0 Ô! = 0 Ò! »1 = 1 + i, »2 = 1 - i.
-1 1 - »
Wyznaczamy wektory wÅ‚asne. Dla »1 = 1 + i mamy
-i 1 v1 0 v2 = iv1
(A - »1I)v = 0 Ô! = Ô!
-1 -i v2 0 v1 = ±1 " C
±1 1 1
Ô! v = = ±1 . StÄ…d v1 = .
ia1 i i
Podobnie, wektorem wÅ‚asnym odpowiadajÄ…cym wartoÅ›ci wÅ‚asnej »2 = 1 - i, jest wektor
i
v2 = . Zatem
1
1 i 1 1 -i e(1+i)t 0
P = , P-1 = , etJ = .
2 -i 1
i 1 0 e(1-i)t
1 1 i e(1+i)t 0 1 -i
etA = P etJ P-1 = =
2
i 1 0 e(1-i)t -i 1
îø ùø
e(1+i)t + e(1-i)t i e(1-i)t - e(1+i)t
1
ðø ûø
= .
2
-i e(1-i)t - e1+i)t e(1+i)t + e(1-i)t
72 W.GrÄ…ziewicz RÓWNANIA RÓ%7Å‚NICZKOWE
Macierz etA ma wyrazy zespolone, chociaż macierz A miała wyrazy rzeczywiste. Przedsta-
wimy macierz etA w postaci rzeczywistej. Jest to zawsze możliwe, bowiem wielomian cha-
rakterystyczny o współczynnikach rzeczywistych, jeÅ›li ma pierwiastek zespolony » = ±+i²,
to ma również pierwiastek » = ± - i². Dlatego, dziÄ™ki wzorom Eulera
1 1
cos t = eit + e-it , sin t = eit - e-it ,
2 2i
można macierz etA z postaci zespolonej przekształcić do postaci rzeczywistej. W naszym
przypadku, przekształcając etA otrzymamy
1 1
et(eit + e-it) et(eit - e-it) et cos t et sin t
2 2i
etA = = .
1 1
-2iet(eit - e-it) et(eit + e-it) -et sin t et cos t
2
Wyznaczamy na koniec rozwiązanie danego zagadnienia niejednorodnego (wzór (43)). Ma-
my
t
x(t) = etAx0 + e(t-Ä )Ab(Ä) dÄ .
StÄ…d
x(t) et cos t sin t 1
= +
y(t) -et sin t et cos t 0
t
et-Ä cos(t - Ä) et-Ä sin(t - Ä) 0
+ dÄ =
0 -et-Ä sin(t - Ä) et-Ä cos(t - Ä) 2
t
et cos t 2et-Ä sin(t - Ä)
= + dÄ =
-et sin t 0 2et-Ä cos(t - Ä)
et cos t 1 - et cos t + et sin t 1 + et sin t
= + = .
-et sin t -1 + et cos t + et sin t -1 + et cos t
Wyznaczanie macierzy fundamentalnej metodą przekształcenia Laplace a
Macierz fundamentalną etA można wyznaczyć przy pomocy przekształcenia Laplace a. W
tym celu obie strony równania różniczkowego z zagadnienia
x (t) = Ax(t)
x(0) = x0
przekształcamy przez transformację Laplace a (zakładamy, że składowe funkcji wektoro-
wych x(t) oraz x (t) są oryginałami). Otrzymamy
sX(s) - x(0) = AX(s) Ô! (sI - A)X(s) = x0 Ô! X(s) = (sI - A)-1x0.
W.GrÄ…ziewicz RÓWNANIA RÓ%7Å‚NICZKOWE 73
StÄ…d
x(t) = L-1 (sI - A)-1 x0.
Porównując rozwiązanie otrzymane przy pomocy przekształcenia Laplace a, z rozwiąza-
niem danym wzorem
x(t) = etAx0
otrzymujemy wzór
etA = L-1 (sI - A)-1 . (47)
Przykład 3.13 Wyznaczyć metodą przekształcenia Laplace a macierz etA, gdy
± ²
A = .
-² ±
R o z w i Ä… z a n i e : Korzystamy ze wzoru (47). Mamy kolejno
s - ± -²
sI - A = , det(sI - A) = (s - ±)2 + ²2,
² s - ±
îø ùø
²
s-±
(s-±)2+²2 (s-±)2+²2
ðø ûø
(sI - A)-1 = ,
-²
s-±
(s-±)2+²2 (s-±)2+²2
ëøîø ùøöø
s-± ²
e±t cos ²t e±t sin ²t
etA = L-1 íøðø (s-±)2+²2 (s-±)2+²2 ûøøø = .
-²
s-±
-e±t sin ²t e±t cos ²t
(s-±)2+²2 (s-±)2+²2
wiczenia
1. Pokazać, że
e-2t cos t - sin t
¦(t) =
e-2t sin t cos t
jest macierzą fundamentalną nieautonomicznego układu liniowego
x = A(t)x,
gdzie
-2 cos2 t -1 - sin 2t
A(t) = .
1 - sin 2t -2 sin2 t
Wyznaczyć rozwiązanie zagadnienia niejednorodnego
x = A(t)x + b(t)
x(0) = x0,
74 W.GrÄ…ziewicz RÓWNANIA RÓ%7Å‚NICZKOWE
5 -3
przyjmując b(t) = , x0 = , A(t) jak wyżej.
5e-2t 3
2 cos2 t - 2 sin 2t + e-2t(sin 2t - 4 cos2 t - 1)
Odp. x(t) = .
4 cos2 t + sin 2t + 1 - 2e-2t(sin 2t + cos2 t)
2. Wyznaczyć macierz etA, jeżeli
1 -1 1 -3 -3 2
a) A = , b) A = , c) A = ,
-4 1 3 1 -2 1
îø ùø îø ùø îø ùø
-1 1 1 2 -1 2 1 1 2
ïø úø ïø úø ïø úø
ïø úø ïø úø ïø úø
d) A = 1 -1 1 , e) A = 1 0 2 , f) A = 0 1 1 ,
ðø ûø ðø ûø ðø ûø
1 1 1 -2 1 -1 0 0 2
îø ùø
îø ùø îø ùø
0 -2 -1 -1
ïø úø
2 0 -1 2 0 0
ïø úø
ïø úø ïø úø
1 2 1 1
ïø úø
ïø úø ïø úø
g) A = -1 0 , h) A = 1 2 0 , j) A = ïø úø.
1
ðø ûø ðø ûø
ïø úø
0 1 1 0
ðø ûø
3 -1 -1 0 1 2
0 0 0 1
Wyniki zweryfikować przez odpowiednie sprawdzenie. Obliczenia wykonać w dowol-
nych komputerowych systemach obliczeń symbolicznych.
3. Rozwiązać następujące zagadnienia początkowe
ñø ñø
ôø ôø
x 1 = x1 + x2 x 1 = x1 + x2 - cos t
ôø ôø
òø òø
a) b)
x 2 = 4x2 - 2x1 x 2 = -2x1 - x2 + sin t + cos t
ôø ôø
ôø ôø
óø óø
x1(0) = 0, x2(0) = -1, x1(0) = 1, x2(0) = -2.
Odp. Odp.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]